2.1. Пренебрежение «началами»
«Стратегические ошибки» в развитии математики
Таким образом, вслед за Френсисом Бэконом, Феликсом Клейном, Рихардом Курантом и другими знаменитыми математиками, Морис Клайн усматривает причину современного кризиса в математике в ее отходе от естествознания, которая в течение многих столетий была главным источником развития математики. Отход математики от теоретического естествознания является крупнейшей «стратегической ошибкой» математики 20-го века. Но в развитии математики существовали и другие «стратегические ошибки», которые привели математику в то состояние, в котором она находится сейчас. Их анализу и посвящена настоящая статья.
Как известно, Гаусс считается одним из виднейших специалистов в теории чисел, что подтверждается его книгой «Арифметические исследования» (1801). В этой связи любопытно узнать мнение Гаусса по поводу Великой теоремы Ферма. В одном из своих писем Гаусс объяснил, почему он не занимался доказательством «проблемы Ферма». С его точки зрения, «гипотеза Ферма это изолированная, ни с чем не связанная теорема и поэтому не представляет особого интереса (выделено А.С.)». То есть, Гаусс не проявил к теореме Ферма того ажиотажного интереса, который возник к этой задаче в 20-м веке. Не следует забывать, что Гаусс всегда проявлял большой интерес к проблемам математики, возникавшим в 19-м веке, например, к неевклидовой геометрии. Несомненно, что мнение Гаусса несколько умаляет открытие
В настоящее время математики вновь обратились к решению задач, которые были в свое время поставлены великими математиками прошлого. Одной из них считается Великая теорема Ферма, которая формулируется очень просто. Доказать, что при n>2 никакие целые числа x, y, z не удовлетворяют соотношению xn + yn = zn. Теорема была сформулирована в на полях книги «Арифметика» с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить. Как известно, многие выдающиеся математики (среди которых можно назвать имена Эйлера, Дирихле и Лежандра) занимались решением этой задачи. Однако, последний шаг в доказательстве теоремы был сделан только в сентябре года английским математиком . 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале .
«Серьезная угроза самой жизни науки проистекает из утверждения, будто математика представляет собой не что иное, как систему заключений, выводимых из определений и постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное описание соответствовало действительности, то в глазах любого сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические системы, — полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность».
Рихард Курант, возглавлявший Курантовский Институт Математических наук при Нью-Йоркском университете, также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. В 1939 г. Курант писал:
«Трудно отделиться от ощущения, что быстрое развитие современной математики таит в себе для нашей науки опасность все более усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться».
В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время признанным главой математического мира, также счел необходимым выразить протест против тяги к абстрактной, чистой математики:
«Глубокое изучение природы наиболее плодотворный источник математических открытий. Такое изучение не только обладает преимуществами хорошо намеченной цели, но и исключает возможность неясной постановки задач и бесполезных выкладок. Оно является надежным средством построения самого анализа и позволяет открывать наиболее значительные идеи, которым суждено навсегда сохраниться в науке. Фундаментальны те идеи, которые отражают явления природы... (выделено А.С.)».
В своем классическом труде «Аналитическая теория тепла» великий физик и математик Фурье подчеркивает важность математического подхода к решению физических задач:
«Критику чистой математики математики ради математики — можно найти в сочинении Френсиса Бэкона «О достоинстве и приумножении наук» (1620). Бэкон возражал против чистой, мистической и самодовольной математики, «полностью абстрагированной от материи и физических аксиом», сетуя на то, что таково уж свойство человеческого ума: не имея достаточных сил для решения важных проблем, он тратит себя на всякие пустяки».
Клайн подчеркивает, что проблемы «чистой математики», которые выдвинулись на передний план в математике 20-го века, не очень сильно интересовали наших великих предшественников. По этому поводу Клайн пишет:
«Естествознание было кровью и плотью математики и питало ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками и астрономами. В 17-18 вв., а также на протяжении большей части 19 в. различие между математикой и теоретическим естествознанием отмечалось крайне редко. Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь несравненно более важные результаты, чем в собственно математике. Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук (выделено А.С.)».
«История математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения... Осознание того, что сверкающая великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло еще один дар по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между математиками были обусловлены самим ходом развития математики за последние сто лет. Большинство математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникающих внутри самой математики, — по существу, они порвали с естествознанием».
Так называется книга [1], написанная Морисом Клайном, почетным профессором Курантовского Института Математических Наук Нью-Йоркского Университета. Книга посвящена анализу кризиса, в котором оказалась математика в 20-м столетии. Клайн пишет:
Математика. Потеря определенности
«Стратегические ошибки» в развитии математики
P.mt {text-indent: 30px;margin-top: 4px;margin-bottom: 0px;
Академия Тринитаризма -- Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии -- Стахов А П -- «Стратегические ошибки» в развитии математики
